文章目录
  1. 1. 拓扑排序的概念
  2. 2. 拓扑排序的应用
  3. 3. 拓扑排序的例题
    1. 3.1. Course Schedule
    2. 3.2. Course Schedule II

拓扑排序的概念

在图论中,拓扑排序(Topological Sorting)是一个有向无环图(DAG, Directed Acyclic Graph)的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件:

  1. 每个顶点出现且只出现一次。
  2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径,那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图(DAG)才有拓扑排序,非DAG图没有拓扑排序一说。

例如,下面这个图:

它是一个 DAG 图,那么如何写出它的拓扑排序呢?这里说一种比较常用的方法:

  1. 从 DAG 图中选择一个入度为0的顶点并输出。
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  3. 重复1和2直到当前的DAG 图为空或当前图中不存在入度为0的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

于是,得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

通常,一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。

拓扑排序的应用

拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。

比如,如果用一个DAG图来表示一个工程,其中每个顶点表示工程中的一个任务,用有向边<A,B>表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中,任意两个任务要么具有确定的先后关系,要么是没有关系,绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)。

拓扑排序的例题

  1. 从 DAG 图中选择一个入度为0的顶点并输出。
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  3. 重复1和2直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在入度为0的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

根据上述三个步骤即可写出bfs代码。

Course Schedule

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class Solution {
public:
bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
vector<vector<int>> matrix(numCourses, vector<int>(numCourses, 0));
vector<int> indegree(numCourses, 0);

for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i){
int ready = prerequisites[i].first;
int pre = prerequisites[i].second;
if (matrix[pre][ready] == 0)
indegree[ready]++; //duplicate case
matrix[pre][ready] = 1;
}

int count = 0;
queue<int> que;
for (int i = 0; i < indegree.size(); ++i) {
if (indegree[i] == 0)
que.push(i);
}

while(!que.empty()){
int course = que.front();
que.pop();
count++;
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
if (matrix[course][i] != 0) {
indegree[i]--;
if(indegree[i] == 0)
que.push(i);
}
}
}

return count == numCourses;;
}
};

Course Schedule II

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class Solution {
public:
vector<int> findOrder(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
vector<vector<int>> matrix(numCourses, vector<int>(numCourses, 0));
vector<int> indegree(numCourses, 0);

vector<int> ret;

for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i){
int ready = prerequisites[i].first;
int pre = prerequisites[i].second;
if (matrix[pre][ready] == 0)
indegree[ready]++; //duplicate case
matrix[pre][ready] = 1;
}

int count = 0;
queue<int> que;
for (int i = 0; i < indegree.size(); ++i) {
if (indegree[i] == 0)
que.push(i);
}

while(!que.empty()){
int course = que.front();
que.pop();
ret.push_back(course);
count++;
for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
if (matrix[course][i] != 0) {
indegree[i]--;
if(indegree[i] == 0)
que.push(i);
}
}
}

if(ret.size() != numCourses)
ret.clear();

return ret;
}
};

参考资料:

  1. 拓扑排序(Topological Sorting)
  2. Easy BFS Topological sort
文章目录
  1. 1. 拓扑排序的概念
  2. 2. 拓扑排序的应用
  3. 3. 拓扑排序的例题
    1. 3.1. Course Schedule
    2. 3.2. Course Schedule II