拓扑排序的概念

在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

  1. 每个顶点出现且只出现一次。
  2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

例如，下面这个图：

它是一个 DAG 图，那么如何写出它的拓扑排序呢？这里说一种比较常用的方法：

  1. 从 DAG 图中选择一个入度为0的顶点并输出。
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  3. 重复1和2直到当前的DAG 图为空或当前图中不存在入度为0的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }。

通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列。

拓扑排序的应用

拓扑排序通常用来“排序”具有依赖关系的任务。

比如，如果用一个DAG图来表示一个工程，其中每个顶点表示工程中的一个任务，用有向边<A,B>表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中，任意两个任务要么具有确定的先后关系，要么是没有关系，绝对不存在互相矛盾的关系（即环路）。

拓扑排序的例题

  1. 从 DAG 图中选择一个入度为0的顶点并输出。
  2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
  3. 重复1和2直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在入度为0的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

根据上述三个步骤即可写出bfs代码。

Course Schedule

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class Solution {
public:
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int>> matrix(numCourses, vector<int>(numCourses, 0));
        vector<int> indegree(numCourses, 0);

        for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i){
            int ready = prerequisites[i].first;
            int pre = prerequisites[i].second;
            if (matrix[pre][ready] == 0)
                indegree[ready]++; //duplicate case
            matrix[pre][ready] = 1;
        }

        int count = 0;
        queue<int> que;
        for (int i = 0; i < indegree.size(); ++i) {
            if (indegree[i] == 0)
                que.push(i);
        }

        while(!que.empty()){
            int course = que.front();
            que.pop();
            count++;
            for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
                if (matrix[course][i] != 0) {
                    indegree[i]--;
                    if(indegree[i] == 0)
                        que.push(i);
                }
            }
        }

        return count == numCourses;;
    }
};

Course Schedule II

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class Solution {
public:
    vector<int> findOrder(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        vector<vector<int>> matrix(numCourses, vector<int>(numCourses, 0));
        vector<int> indegree(numCourses, 0);
        
        vector<int> ret;

        for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i){
            int ready = prerequisites[i].first;
            int pre = prerequisites[i].second;
            if (matrix[pre][ready] == 0)
                indegree[ready]++; //duplicate case
            matrix[pre][ready] = 1;
        }

        int count = 0;
        queue<int> que;
        for (int i = 0; i < indegree.size(); ++i) {
            if (indegree[i] == 0)
                que.push(i);
        }

        while(!que.empty()){
            int course = que.front();
            que.pop();
            ret.push_back(course);
            count++;
            for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
                if (matrix[course][i] != 0) {
                    indegree[i]--;
                    if(indegree[i] == 0)
                        que.push(i);
                }
            }
        }
        
        if(ret.size() != numCourses)
            ret.clear();
        
        return ret;    
    }
};

参考资料：

  1. 拓扑排序（Topological Sorting）
  2. Easy BFS Topological sort